PROPAGACION DE CRECIDAS

1. Las características de almacenamiento vs caudal de salida para un embalse propuesto están dadas a continuación. Calcule la función almacenamiento-caudal de salida 2S/Dt + Q vs Q para cada uno de los valores tabulados si Dt = 2 h. Elabore una gráfica de la función almacenamiento-caudal de salida.

Almacenamiento (10^6 m^3)	75	81	87,5	100	110,2
Caudal de salida (m^3/s)	57	227	519	1,330	2,270

2. Utilice el método de tránsito de piscina nivelada para transitar el hidrograma dado a continuación a través del embalse cuyas características de almacenamiento – caudal de salida están dadas en el problema 1. ¿Cuáles son el máximo almacenamiento y el máximo caudal de salida del embalse?. Suponga que inicialmente el embalse contiene 75 x 10⁶ m³ de almacenamiento.

Tiempo (h)	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
Caudal de entrada (m^3/s)	60	100	232	300	520	1,310	1,930	1,460	930	650

3. Resuelva el problema 2 suponiendo que el almacenamiento inicial en el embalse es 87,5 x 10⁶ m³.

4. Resuelva el ejemplo 8.2.1 del libro de Chow, Maidment y Mays si la profundidad inicial en el embalse es de dos pies. ¿En cuánto aumenta esta cambio el nivel máximo del agua en el embalse en comparación con el nivel encontrado en el ejemplo 8.2.1?.

5. La capacidad de almacenamiento y la relación cabeza – caudal de salida para un embalse de control de crecientes están dadas en las siguientes tablas. Propagar el hidrograma de la crecida de diseño dado a continuación a través del embalse hasta el tiempo 6:00. El nivel inicial en el embalse es 3,15 m. use un intervalo de tránsito de Dt = 15 min.

Nivel (m)	3,15	3,30	3,45	3,60	3,75	3,90	4,05
Almacenamiento (m^3/s)	15	49	110	249	569	1,180	3,180
Caudal (m^3/s)	0	0,21	0,72	1,25	1,89	2,61	3,40
Nivel (m)	4,08	4,15	4,20	4,27	4,35	4,50
Almacenamiento (m^3/s)	2,440	3,140	4,050	5,380	8,610	18,600
Caudal (m^3/s)	3,57	3,91	4,25	4,62	5,21	6,20

Tiempo (h:min)	0:00	0:15	0:30	0:45	1:00	1:15	1:30	1:45	2:00
Caudal de entrada (m^3/s	0	0,04	0,12	0,25	0,53	1,10	3,00	6,12	8,2
Tiempo (h:min)	2:15	2:30	2:45	3:00	3:15	3:30	3:45	4:00	4:15
Caudal de entrada (m^3/s)	9,06	9,20	8,75	8,07	7,36	6,66	5,98	5,32	4,67
Tiempo (h:min)	4:30	4:45	5:00	5:15	5:30	5:45	6:00
Caudal de entrada (m^3/s)	4,11	3,65	3,29	3,00	2,73	2,49	2,27

6. Considere un embalse de detención de 2 acres con paredes verticales. El hidrograma de flujo de entrada triangular se incrementa linealmente desde cero hasta un pico de 540 cfs en el minuto 60 y luego decrece linealmente hasta un caudal cero en el minuto 180. Transite el hidrograma de entrada a través del embalse de detención utilizando la curva cabeza – caudal para el vertedero de tubo de 5 pies dado en la tabla 8.2.2 del libro de Chow, Maidment y Mays. El tubo se localiza en el fondo del embalse. Suponiendo que el embalse está inicialmente vacío, utilice el procedimiento de tránsito de piscina nivelada con un intervalo de tiempo de 10 minutos para determinar la profundidad máxima en el embalse de detención.

7. Resuelva el problema 6 utilizando el método de Runge-Kutta de tercer orden con un intervalo de tiempo de 10 minutos, para determinar la profundidad máxima.

8. Escriba un programa de computador para llevar a cabo la propagación de crecidas utilizando el método de tercer orden de Runge-Kutta. Luego resuelva el problema 6.

9. Utilice el método de Runge-Kutta de tercer orden para transitar el hidrograma de entrada dado a continuación a través de un embalse de detención urbano con las siguientes características. Utilice un intervalo de tiempo de 3 minutos para el tránsito.

Elevación sobre el NMDM (pies)	1,000	1,010	1,020	1,030	1,040	1,050
Area superficial	1	10	15	20	25	30

El embalse de detención tiene un vertedero de conducto de 20 pies² de área con una elevación de la entrada en la cota 1,002 pies y un vertedero de cresta libre de 80 pies de longitud en la cota 1,011 pies. Las ecuaciones del caudal de salida para los vertederos de conductos de cresta libre están dadas en la tabla 156. Suponga que el vertedero de conducto funciona como una alcantarilla con control en la entrada sumergida con un coeficiente de descarga C_d = 0,7 y el vertedero de creta libre tiene los coeficientes de descarga C(Q = CLH^3/2) tabulados de la siguiente forma:

Cabeza H (pies)	0,0 – 0,2	0,2 – 0,4	0,4 – 0,6	0,6 – 0,8	0,8 – 1,0
Coeficiente del vertedero C	2,69	2,72	2,95	2,85	2,98
Cabeza H (pies)	1,0 – 1,2	1,2 – 1,4	1,4 – 1,6	1,6 – 1,8	> 1,8
Coeficiente del vertedero C	3,08	3,20	3,28	3,31	3,35

Hidrograma de entrada

Tiempo (min)	0	3	6	9	12	15	18	21	24
Caudal de entrada (cfs)	0	60	133	222	321	427	537	650	772
Tiempo (min)	27	30	33	36	39	42	45	48	51
Caudal de entrada (cfs)	902	1036	1174	1312	1451	1536	1571	1580	1568
Tiempo (min)	54	57	60	63	66	69	72	75	78
Caudal de entrada	1548	1526	1509	1493	1479	1464	1443	1417	1384
Tiempo (min)	81	84	87	90	93	96	99	102	105
Caudal de entrada	1345	1298	1244	1184	1120	1051	979	904	827
Tiempo (min)	108	111	114	117	120	123	126	129	132
Caudal de entrada	748	669	588	508	427	373	332	302	278
Tiempo (min)	135	138	141	144	147
Caudal de entrada	260	246	235	225	217

10. Resuelva el problema 9 para intervalos de tiempo de 6 y 12 minutos. Compare los resultados para los intervalos de tiempo de tránsito de 3, 6 y 12 minutos.

11. Escriba un programa de computador para el tránsito a través de embalses de detención utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden desarrollado por Gill (Carnahan et al., 1969). La ecuación de continuidad se aproxima como:

La profundidad desconocida H_1+s en el tiempo t + Dt, se expresa como:

donde

donde

A(H) se interpola de la relación elevación superficie de agua.

12. Utilizando el programa de computador escrito en el problema 11 resuelva el problema 7.

13. Utilizando el programa de computador escrito en el problema 11 resuelva el problema 9.

14. En este problema es necesario determinar la escorrentía de una cuenca particular y propagar el hidrograma de escorrentía a través de un embalse localizado en el extremo de aguas debajo de la cuenca. El embalse tiene las siguientes características almacenamiento – caudal de salida.

Almacenamiento(ac.pie)	0	200	300	400	500	600	700	1100
Caudal de salida (cfs)	0	2	20	200	300	350	450	1200

La lluvia es:

Tiempo (h)	0	0,5	1,0	1,5	2,0
Profundidad de lluvia acumulada (pulg)	0	1,0	3,00	4,00	4,5

El hidrograma unitario de media hora es:

Tiempo (h)	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5
Caudal (cfs/pulg)	0	200	500	800	700	600	500	400
Tiempo (h)	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0
Caudal (cfs/pulg)	300	200	100	500	0

El índice f de 0,8 pulg/h se utiliza para tener en cuenta las pérdidas. Determine el caudal pico de salida del embalse suponiendo un flujo base cero. ¿Cuál es el área de la cuenca en millas cuadradas?

15. Demuestre que el intervalo entre los centroide del flujo de entrada y del flujo de salida en el método de Muskingum es una constante que tiene dimensiones de tiempo.

16. Suponiendo K = 24 h y X = 0,2, transite una creciente hipotética que tiene una tasa de flujo constante de 1,000 unidades y dura un día, a través de un embalse cuyo almacenamiento está simulado por la ecuación de Muskingum. Grafique los hidrogramas de flujo de entrada y flujo de salida. Suponga que el flujo de salida inicial es cero.

17. Usando los hidrogramas de flujo de entrada y flujo de salida dados a continuación para un canal, determine K y X.

Tiempo (min)	0	3	6	9	12	15	18	21
Caudal de entrada al canal (cfs)	0	60	120	180	240	300	364	446
Caudal de salida del canal (cfs)	0	0	13	42	81	127	178	231
Tiempo (min)	24	27	30	33	36	39	42	45
Caudal de entrada al canal (cfs)	530	613	696	776	855	932	948	932
Caudal de salida del canal (cfs)	293	363	437	514	593	672	757	822
Tiempo (min)	48	51	54	57	60	63	66	69
Caudal de entrada al canal (cfs)	914	911	921	941	958	975	982	980
Caudal de salida del canal (cfs)	861	879	888	897	910	924	940	954
Tiempo (min)	72	75	78	81	84	87	90	93
Caudal de entrada al canal (cfs)	969	951	925	890	852	810	767	717
Caudal de salida del canal (cfs)	964	968	965	956	938	919	884	851
Tiempo (min)	96	99	102	105	108	111	114	117
Caudal de entrada al canal (cfs)	668	618	566	514	462	410	359	309
Caudal de salida del canal (cfs)	812	769	725	677	629	579	528	478
Tiempo (min)	120	123	126	129	132	135	138	141
Caudal de entrada al canal (cfs)	261	248	238	229	222	216	210	205
Caudal de salida del canal (cfs)	427	373	332	302	278	260	246	235
Tiempo (min)	144	147
Caudal de entrada al canal (cfs)	199	194
Caudal de salida del canal (cfs)	225	217

18. Un tramo de canal tiene una longitud de 4.400 pies y coeficientes de Muskingum K = 0,24 h y X = 0,25. Transite el siguiente hidrograma de flujo de entrada a través de ese tramo. Suponga un flujo de salida inicial de 739 cfs.

Tiempo (h)	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Caudal de entrada (cfs)	819	1,012	1,244	1,537	1,948	2,600	5,769
Tiempo (h)	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
Caudal de entrada (cfs)	12,866	17,929	20,841	21,035	20,557	19,485	14,577
Tiempo (h)	7,0	7,5	8,0
Caudal de entrada (cfs)	9,810	6,448	4,558

19. Una cuenca se divide en dos subáreas A y B. La escorrentía superficial de la subárea A entra en un canal en el punto 1 y fluye hacia el punto 2 donde la escorrentía de la subárea B se adicional al hidrograma y el flujo combinado transita a través de un embalse. Determine el hidrograma de caudal de salida del embalse, suponiendo que éste está inicialmente vacío. ¿Cuáles son las áreas de las subáreas A y B en millas cuadradas?

El embalse tiene las siguientes características almacenamiento – caudal de salida.

Almacenamiento (ac-pie)	0	220	300	400	500	600	700	1,100
Caudal de salida (cfs)	0	2	20	200	300	350	450	1,200

El canal desde el punto 1 hasta el punto 2 tiene como parámetros de Muskingum K=0,5 horas y X = 0,25. La subárea A no se encuentra desarrollada y la subárea B tiene un desarrollo residencial. Como resultado el índice f para la subárea A es 20 mm/h y el índice f para B es 5 mm/h. La tormenta es:

Tiempo (h)	0	0,5	1,0	1,5	2,0
Profundidad de lluvia acumulada (mm)	0	25	75	100	125

Los hidrogramas unitarios de media hora para las subáreas A y B son los siguientes. Transformar las unidades al sistema SI.

Tiempo (h)	Hidrograma unitario subárea A (cfs/pulg)	Hidrograma unitario subárea B (cfs/pulg)
0	0	0
0,5	100	200
1,0	200	500
1,5	300	800
2,0	400	700
2,5	350	600
3,0	300	500
3,5	250	400
4,0	200	300
4,5	150	200
5,0	100	100
5,5	50	50
6	0	0

20. Para un sistema hidrológico lineal se supone que el almacenamiento en el sistema S(t) es directamente proporcional a la salida Q(t), o S(t) = kQ(t) donde k es una constante de almacenamiento. En la condición inicial la salida es cero. Deduzca una ecuación para la salida Q(t) en términos de la entrada I(t) y de la constante de almacenamiento k.

21. ¿Cuál es la dimensión de la constante de almacenamiento en el problema 20?. Tomando k=1 unidad, construya una curva que muestre la relación entre Q/I y tiempo. Suponga que el caudal de entrada en constante.

22. Suponiendo que la entrada I(t) a un embalse lineal finaliza en t_o, deduzca una ecuación para la salida para t > t_o.

23. Demuestre que el caudal máximo de IUH para un sistema hidrológico modelado mediante una serie de n embalses lineales, cada uno con una constante de almacenamiento k, es:

24. Demuestre que el primero y el segundo momento de área del IUH modelado para una serie de n embalse lineales, cada uno con una constante de almacenamiento k, alrededor del tiempo de origen son:

y

Si , y C₂ son los segundos momentos a través de los centroides de áreas de los ERH, DRH e IUH, respectivamente, demuestre que:

25. Si el primero y el segundo momento de área del ERH y del DRH alrededor del tiempo de origen son y , respectivamente, demuestre que para n embalses lineales en serie:

26. Determine el IUH por el método de n embalses lineales para una cuenca con un área de drenaje de 36 km² suponiendo abstracciones de 0,5 cm/h y un flujo base constante de 5 m³/s. Utilice la siguiente información:

Período de 6 h	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Lluvia cm/h	1,5	3,5	2,5	1,5
Caudal m^3/s	15	75	170	185	147	84	43	18	8

27. Determine el IUH para un modelo de sistema hidrológico compuesto de dos embalses lineales con constantes k₁ y k₂, respectivamente a) en serie y b) en paralelo, si las entradas al sistema están divididas entre los embalses de acuerdo con la relación de x a y donde x + y = 1. Determine sus centroides.

28. Demuestre que la siguiente expresión es una solución de la ecuación de Muskingum:

con t igual a la duración de I(t) e I(0) = Q(0). Demuestre que el IUH es

donde d(t) es la entrada de impulso unitario, es decir, el límite de I(t) a medida que t se aproxima a cero.

29. Determine la derivada temporal del caudal para = 7,000 cfs, =7,166 cfs, cfs y =6,940 cfs. Utilice un intervalo de tiempo de una hora, Dr=1,000 pies y q = 0,60

30. Deduzca las ecuaciones (10.3.11) y (10.3.12).

31. Deduzca las expresiones para las derivadas parciales de la ecuación de continuidad dadas en el apéndice 10.A (ecuaciones 10.A.I – 10.A.4).

32. Deduzca las expresiones para las derivadas parciales de la ecuación de continuidad dadas en el apéndice 10.A (ecuaciones.

33. Explique el procedimiento utilizado para resolver el sistema de ecuaciones usando el método de Newton-Raphson.

34. A pesar de que el esquema implícito utilizado para el modelo de onda dinámica completo es incondicionalmente estable, explique por qué este procedimiento es inestable cuando el flujo se aproxima a condiciones críticas.

35. Explique por qué pueden ocurrir problemas de inestabilidad cuando se modela un río que tiene secciones transversales con un canal principal y una llanura de inundación muy ancha y plana. Ayuda: ¿Cómo serían las relaciones elevación vs radio hidráulico, elevación vs ancho en la superficie y elevación vs caudal?

36. ¿Bajo qué condiciones causarían problemas de inestabilidad las relaciones n de Manning vs caudal en la solución de un modelo de onda dinámica completa?.

37. El propósito de este problema es utilizar el modelo DWOPER o FLDWAV del U.S. National Weather Service. Considere un canal de irrigación trapezoidal de 9,000 pies de largo con sección transversal como la mostrada en la figura 10.P.1. El hidrograma de caudal de entrada aguas arriba se muestra en la figura 10.P.2. La pendiente del fondo del canal es 0.0005 pies/pie. La elevación del fondo del canal en el extremo aguas abajo es 95,5 pies. El canal tiene un coeficiente de rugosidad de Manning de n = 0,025. Con el fin de modelar el canal, se localizan secciones transversales (estaciones a intervalos de 1,000 pies cada una tal como se muestra en la figura 10.P.3. Utilizando un intervalo de tiempo computacional de 0,1 h, simule el comportamiento del sistema para las primera cinco horas. Grafique los hidrogramas de caudal de entrada y de caudal de salida; también grafique la distribución de flujo a lo largo del canal a intervalos de una hora. Utilice una condición inicial de 200 cfs a lo largo del canal. La condición de frontera aguas abajo es la curva de calibración dada a continuación:

Nivel (pies)	98,6	100,2	102,6	104,3	106,2	107,7	109,5
Caudal (cfs)	200	550	1,000	1,700	2,200	2,600	3,200

38. Encontrar el hidrograma de salida de un tramo de un río con parámetros K = 27 horas y x = 0,2 (método Muskingum) si el hidrograma de entrada es el dado por la tabla siguiente:

El gasto inicial de salida es 1 m³/s.

Día	Hora	Caudal (m^3/s)	Día	Hora	Caudal (m^3/s)
1	12	1	6	12	6,9
	24	1,1		24	5,4
2	12	3,5	7	12	4,1
	24	9,6		24	3,3
3	12	16,2	8	12	2,7
	24	20,4		24	2,3
4	12	21,0	9	12	1,9
	24	19,0		24	1,6
5	12	12,9
	24	9,1

39. Dimensionar la longitud del vertedero de un embalse pequeño de modo que la altura de agua en él no sobrepase en un metro la cota del vertedero (cota 100).

El gasto de salida en el vertedero está dado por:

Q = 0,4 Lh^3/2

Q = caudal en m³/s

L = longitud del vertedero en m

h = altura de agua sobre la cota de salida (carga) en m.

La variación del volumen embalsado en función de la altura para el rango entre las cotas 100 y 102 está dado por:

t (min)	Caudal (m^3/s)
0	0
5	2,5
10	15
15	11
20	8
25	5
30	3
35	2,5
40	2
45	1
50	0

h = altura sobre cota 100 en m

V = volumen embalsado en m³

La crecida de diseño para el embalse se indica en la Tabla.

40. Dado el hidrograma de entrada a un embalse, encontrar el gasto máximo de salida y el tiempo en el cual ocurre. Suponga que la relación entre almacenamiento (s, m³) y gasto de salida (Q, m³/s) es:

S = 8 Q²

El gasto de salida en el instante inicial es 1 m³/s.

Tiempo (hrs)	0	2	4	6	8	10	12	14	16
Gasto de entrada (m^3/m)	1	1	40	90	60	20	15	10	5

El coeficiente de la ecuación permite calcular usando intervalos de tiempo en horas.