HIDROLOGIA PROBABILISTICA

 

 

1. Ud. ha sido contratado por la empresa constructora U.C. como Ingeniero Hidráulico. Esta firma ha ganado la propuesta para construir una presa de concreto en Arroyo Seco. Se ha decidido construir una ataguía de tierra y un túnel de desviación para mantener seco el sitio de la construcción.  Las dimensiones del túnel son fijas. Su labor consistirá en determinar la altura de la ataguía.

 

La firma está dispuesta a correr un riesgo de falla del 10% durante los 2 años que dura la construcción.  La zona del embalse cuenta con una estación limnigráfica con 30 años de registro.

Explique en detalle el procedimiento que Ud sugiere para determinar la altura de la ataguía.

 

2. Los caudales máximos instantáneos anuales en un punto tienen un promedio de 1000 m3/s. Suponiendo aplicable  una distribución  de valores extremos  contestar las siguientes preguntas:

     a) ¿Cuál es el período de retorno de un caudal de 2000 m3/s?

b) ¿Con qué caudal diseñaría  Ud. una obra de 25 años de vida útil si el riesgo de falla debe ser menor de 0,05?

     Los parámetros han sido estimados de un registro de 30 años.

 

3. Las crecidas máximas anuales del río Turbio tienen un promedio de 140 m3/s con una desviación standard de 30 m3/s y un coeficiente de asimetría de 1,3.

a)    Estimar la crecida con un período de retorno de 250 años si se supone que ellas pueden ser representadas por un modelo de distribución de valores extremos.

b)   Estimar la crecida con período de retorno 200 años, suponiendo un modelo de distribución Pearson III y un modelo log-Pearson III. Comparar los resultados.

 

 

4. Las lluvias máximas en 24 horas observadas en la Isla de Pascua, asociadas a distintas probabilidades de excedencia son:

 

Prob. excedencia

Lluvia (mm)

5%

127,6

10%

96,3

50%

72,2

80%

54,2

95%

41,0

 

 

     Calcular los parámetros de un modelo de distribución normal y de un modelo gamma que represente a estas lluvias.

     Comparar las probabilidades calculados con los modelos y los valores observados.

 

  1. El volumen anual de escurrimiento para una cuenca se estima en 107 millones de m3 basados en un registro de 40 años de duración.  La desviación standard del volumen escurrido es 147 millones de m3 y el error standard del coeficiente de regresión en serie (temporal) es 145 millones de m3.  Se tiene que el escurrimiento anual se puede representar por una distribución  gamma cuyo coeficiente de asimetría es 1,85. En 1972 se registró un escurrimiento de 10 millones de m3. estimar los siguientes valores para 1973:

 

a) La probabilidad que el escurrimiento anual sea mayor o igual que el promedio.

b) El escurrimiento efectivamente observado en 1973 fue de 200 millones de m3. Estime la probabilidad de un evento igual o superior a ese valor.

c) ¿Es estadísticamente significativo el valor del coeficiente de correlación?

 

  1. Basados en un registro de varios años de observaciones en una cuenca del tipo nivel, se ha establecido una relación lineal entre los escurrimientos de primavera (E) y la precipitación del invierno anterior (P). La ecuación encontrada es:

 

E = A0 + A1 P + e

 

e = error o residuo

A0, A1 = coeficientes

 

a)   Calcular los coeficientes A0, A1 utilizando el método de mínimos  cuadrados. Se sabe que los promedios de E y P son 100 mm y 70 mm y que las desviaciones standard de E y P son 20 mm y 30 mm respectivamente. El coeficiente de correlación lineal entre el escurrimiento y la precipitación es 0,9.

 

E = B0+B1 P+B2T+ e

 

b) Calcular el error  standard del residuo y el coeficiente de correlación parcial entre E y  P, sabiendo que el coeficiente de correlación lineal entre E y T es 0,4 y la precipitación P es independiente de la temperatura T.

 

  1. Calcular el período de retorno del promedio en una distribución de valores extremos, sabiendo que la función distribución de probabilidades está dada por la expresión siguiente.

 

Fx(x) = e-e -a(x-u)

 

donde

            a = 1,238/ox

            u = x - 0,45 ox

            x = promedio

            ox = desviación estándard

 

  1. La siguiente relación se ha estimado para predecir el gasto máximo del río Ain en Coiselet en función de la precipitación en Les Rousses, utilizando los datos de 40 tormentas observadas:

 

p = -28,57+15,0 UR+e

 

siendo:

            P   = gasto máximo en coiselet en m3/s

            UR = precipitación en Les Rousses en mm

            e    = residuo

 

       Se conoce el promedio y desviación standard de las variables:

 

 

p

UR

Promedio

559,75

39,2

Desv. Standard

394,46

19,8

 

 

a) Calcular el coeficiente de correlación

b) Calcular el error standard del estimador

c) Calcular la varianza del coef. de regresión (pendiente) y especificar que hipótesis implica el cálculo.

d) ¿Cuál es el  procedimiento para efectuar tests de hipótesis sobre los coeficientes de regresión y que suposiciones es necesario hacer?.

e)¿Qué factores son los que deben estar presentes en una relación entre precipitación y escurrimiento?.

 

  1. ¿Qué período de retorno usaría Ud. para determinar el valor de diseño de una obra hidráulica con una vida útil de 25 años?. Suponga que se considera aceptable un riesgo de falla de 10%.
  2. Los caudales máximos  instantáneos anuales en un lugar con un registro de observaciones bastante largo, tienen un promedio de 100 m3/s y un coeficiente de variación de 0,8.

 

a)      Estimar el caudal máximo con un período de retorno de 100 años, suponiendo que los caudales siguen una distribución de valores extremos tipo I.

b)      ¿Cuál es el gasto de diseño para una obra de 50 años de vida útil, si el riesgo de falla aceptable durante la vida de la obra es 0,05?.

 

La función de distribución acumulada de la distribución de valores extremos es

 

 

         donde y = a(x-xf)                                    a =           

 

                                                                        xF=x - 0,45 ox

 

  1. ¿Cuál es el período de retorno del caudal de diseño de una obra con vida útil de 25 años, si se considera aceptable un riesgo del 5% durante la vida de la obra?

 

 

  1. a) ¿Cuál es le período de retorno del promedio en una distribución de valores extremos tipo I?

b) ¿En que estudios hidrológicos recomendaría Ud. el uso de esta distribución?.

 

Función Distribución

 

Parámetros                               

 

 

  1. Calcular el período de retorno del promedio en una distribución de valores extremos, sabiendo que la función distribución de probabilidades está dada por la expresión siguiente:

 

                                   

 

donde   a = 1,283/o

                        u = x-0,45 o

                        x = promedio

                        s = desviación standard

 

14. ¿Con qué período de retorno debe diseñarse un puente que tiene una vida útil de 25 años, si se considera aceptable un riesgo de falla de 10%?

 

 

15 . La función distribución  acumulada de una variable aleatoria es :

 

                                      

 

Determine el valor de A y la probabilidad que la variable aleatoria tome valores mayores que 5.

16. . ¿Qué período de retorno recomendaría Ud. usar para el diseño de una obra de 50 años de vida útil, si se considera aceptable un riesgo de falla de 5%?

 

17.  Los caudales máximos instantáneos en un punto pueden ser representados por el siguiente modelo probabilístico:

Fx(x) = exp (-exp (-a(x-u)))

 

Siendo :  Fx(x) = función distribución acumulada

                 a = parámetro = 0,005

                 u = parámetro = 888 m3/s

                 x = caudal máximo instantáneo en m3/s.

 

a)      ¿Cuál es el período de retorno de una crecida de 2000 m3/s?

b)      ¿Con qué crecida diseñaría Ud. una obra de 25 años de vida útil si el riesgo de falla debe ser menor de 0,05?

 

  1. Un hidrólogo utilizó una serie parcial para el estudio de crecidas máximas instantáneas (x) del río San Jorge.  Del registro disponible de 23 años de longitud, selecciono 56 crecidas superiores a 500 m3/s y encontró que a esa muestra, se podía ajustar un modelo probabilístico con la siguiente función densidad de probabilidades:

                                      x > 500 m3/s

x = crecida máxima instantánea en m3/s

 

a)      Calcular la probabilidad de tener crecidas superiores a 2000 m3/s, dado que la crecida es mayor que 500 m3/s.  En el período de registro se observaron 5 crecidas superiores a 2000 m3/s).

b)      Calcular el promedio de las crecidas superiores a 500 m3/s.

Hint :

 

 

  1. Las crecidas en un río se pueden representar por el siguiente modelo probabilístico:

1-P(y) = exp (-exp-(a(y-u)))

 

siendo        y = magnitud de la crecida

                  P(y) = probabilidad de excedencia de la crecida

                  a,u = parámetros.

 

 

  1. Las crecidas máximas en un lugar pueden representarse por el siguiente modelo probabilístico:

Fx(x) = exp(-exp(-0,0256(x-,5)))

 

Fx(x) = función distribución acumulada de la variable aleatoria.

 

El promedio de las crecidas históricas es 100 m3/s y su varianza es 2500 m3/s.

 

 

  1. La siguiente función de distribución acumulada es bastante utilizada en hidrología.

 

Fx(X)=exp(-exp(-a(x-b)))

 

Escribir el sistema de ecuaciones para calcular los parámetros (a,b) de la distribución utilizando el método de máxima verosimilitud.

 

  1. Las crecidas máximas instantáneas en un río se pueden representar mediante el siguiente modelo probabilístico válido para caudales superiores a 500 m3/s

 

Fx(X) = (1/650)e-(X-500)/650                   para X>500

 

¿Cuál es la crecida de diseño a utilizar en una obra que tiene 30 años de vida útil si el riesgo de falla no debe superar el 10%?

 

 

  1. En el río Mapocho se construirán gaviones para proteger sus riberas mientras se construye la canalización definitiva. Los gaviones se diseñarán  con un período de retorno de 20 años y deberán proteger las riberas durante un período de 5 años. Suponga que en caso de falla los gaviones se reconstruyen durante el verano. Calcular:

 

a)      La probabilidad que los gaviones fallen en un año cualquiera

b)      La probabilidad que los gaviones funcionen adecuadamente

c)      La probabilidad que los gaviones fallen sólo una vez en los cinco años

d)      La probabilidad que los gaviones fallen todos los años

e)      La probabilidad que funcionen adecuadamente sólo los tres primeros años, sin interesar lo que pueda ocurrir despúes.

 

  1. Los caudales máximos instantáneos (x, m3/s) en la desembocadura del río Turbio se pueden representar por el siguiente modelo probabilístico:

Fx(s) = 0,02 e-0,02 x                                                 x > 0

 

Calcular el período de retorno del promedio del caudal máximo instantáneo.

 

 

  1. Los caudales máximos diarios del río Cachapoal en Puente Arqueado, se pueden representar por el siguiente modelo probabilístico:

Fx(x) = exp (-5,4 e-x/338)                             x > 0

 

a)      ¿Cuál es el periodo de retorno de una crecida igual a 338 m3/s

b)      El Intendente desea tener una seguridad de 95% en relación al puente durante los próximos 15 años.  ¿Para qué caudal máximo debe solicitar el diseño de las obras de proteccion?.

 

 

  1. Derive una expresión para calcular el período de retorno de los valores que exceden en m veces la desviación estándar de una muestra suponiendo un modelo de distribución de valores extremos, cuya función de distribución acumulada es:

 

Fx(x) = exp (-exp(-a(x-u)))

 

Siendo        a = 1,28/s

                  u = x-0,45 s

                  x = promedio de la muestra

                  s = desviación estándar de la muestra.

 

 

  1. La siguiente función de distribución acumulada es de uso corriente en hidrología:

 

Fx(x) = exp (-exp(-a(x-b)))

 

En esta expresión a y b son los parámetros de la distribución, los cuales son función del promedio (m) y la desviación estándar (s) de la variable aleatoria x:

 

      A = 1,28/s                                           b = m - 0,45 s

 

Calcule el período de retorno del valor de x igual a cero, suponiendo que el coeficiente de variación es 0,3.

 

 

  1. Las crecidas (x) en un río pueden representarse por el siguiente modelo probabilistico:

 

Fx(x) = exp (-exp(-a(x-u)))

 

Siendo F(x) la función distribución acumulada de la variable aleatoria X y (a,u) los parámetros.  Si la crecida con 100 años de período de retorno es 260 m3/s y la con 10 años de período es 170 m3/s, ¿cuál es la probabilidad de tener crecidas mayores de 240 m3/s?

 

 

  1. La curva de frecuencia de crecidas para un río  obedece la siguiente relación:

 

Fx(x) = exp (-exp(-a(x-u)))

 

Siendo:       Fx(x) = función distribución acumulda de x

                  x = caudal  (m3/s)

                  a,u = parámetros

 

a)      ¿Cuál es la probabilidad que la crecida sea mayor que 240 m3/s,  si se sabe que las crecidas con 10 y 100 años de período de retorno son 170 m3/s y 260 m3/s respectivamente?

b)      Si se elige la crecida de 240 m3/s como valor de diseño para el vertedero de una ataguía, ¿cuál es la probabilidad que la crecida de diseño sea excedida al menos una vez en un período de 5 años?.

 

  1. Los valores de lluvias anuales registrados en Santiago entre 1866 y 1968 permiten calcular los siguientes parámetros:

 

promedio                            345 mm

desviación standard            165 mm

máximo                              820 mm  (1920)

mínimo                               65 mm  (1924)

 

a) Suponiendo que las lluvias pueden presentase por un modelo de distribución normal. Calcular la probabilidad de tener lluvias anuales comprendidas entre 300 y 500 mm.

 

b) Si se presentan las lluvias por un modelo de distribución log-normal calcular la probabilidad de tener lluvias anuales comprendidas entre 300 y 500 mm.